第十五章 钟形曲线――智力大骗（第1 / 8页）
“真正的”数学家的“真正的”数学，比如费马（Fermat）、欧拉（Euler）、高斯、阿贝尔（Abel）和黎曼（Riemann）的数学，是完全“无用”的（“应用”数学和“纯”数学都是如此）。
我一生中喝过许多杯咖啡（它是我最上瘾的东西）。我从未遇到杯子从桌上跳起两英尺的情况，咖啡也从来没有自动从杯子里流到这份书稿上。要想发生这类情况，需要的可不仅仅是对咖啡上瘾。它可能需要超过人们想象的时间才会发生，概率太小了，是1后面加上许多零分之一，我用全部的业余时间可能都写不完这个数字。
我之前提到过，钟形曲线是由一个赌徒编造的，他就是亚伯拉罕·棣莫弗（Abraham de Moivre，1667—1754），一个法国加尔文派的避难者，他一生中大部分时间生活在伦敦，说着口音浓重的英语。但凯特勒才是思想史上最具破坏性的人，而不是高斯。
怎样制造灾难
注：在平均斯坦，随着样本规模的增大，被观测到的平均值越来越稳定，在图中可以看到，曲线越来越窄。这就是一切统计理论的工作原理（或者所谓的工作原理）。平均斯坦的不确定性在平均化之下消失了。这就是人们常说的“大数定理”。
如果你使用“统计显著性”这种说法，请小心它所带来的确定性假象。人们有可能把观测误差按照满足高斯分布的条件处理，而这要求它必须来自高斯环境，比如平均斯坦。
图15–2 大数定理的原理
为了看清高斯方法的误用多么普遍以及危害多么大，请看一部由多产作家、大法官理查德·波斯纳（Richard Posner）撰写的（无聊的）书《大灾难》（Catastrophe）。波斯纳哀叹公务员对随机性的误解，建议政府的政策制定者向经济学家学习统计学。法官波斯纳看上去正在努力制造灾难。尽管属于应该多花时间读书而不是写书的人，他还是有可能成为具有洞察力的、深刻的、原创的思想家。和许多人一样，他只是不知道平均斯坦和极端斯坦的区别，他相信统计学是“科学”，而不是骗局。假如你碰到他，请告诉他真相。
高斯变量之外不存在标准差，即使存在，也无关紧要，并且说明不了什么。但事情却变得更糟了。高斯变量家族（有许多朋友和亲戚，比如泊松分布）是唯一能用标准差（以及平均值）描述的分布。你不再需要别的东西了。钟形曲线满足了那些容易上当的人对简化论的需求。
如果你在大学上过（无聊的）统计课，不明白教授为什么兴奋，不知道“标准差”是什么意思，不要担心。标准差的概念在平均斯坦以外毫无意义。假如你上过审美神经生物学或者殖民地时期之后的非洲舞蹈课程，这显然对你更有好处，也更具娱乐性。从经验主义的角度，这一点很容易看出来。
还有一些在高斯世界之外没有意义或没有重大意义的概念：相关性，以及（更糟糕的）回归。它们在我们的方法中根深蒂固，在商业谈话中不听到“相关性”这个词是很难的。
爱上确定性
要想了解相关性在平均斯坦以外多么没有意义，只需要看一看涉及两个极端斯坦变量的历史序列，比如债券和股市，两只股票的价格，或者美国儿童图书销量变化和中国化肥产量，又或者纽约房地产价格和蒙古股市收益率。计算这些成对变量在不同子期间的相关性，比如1994年、1995年、1996年，等等。计算结果很可能表现出严重的不稳定性，它取决于计算的期间。但人们谈论相关性时仿佛它是某种真实确定的东西，人们倾向于把它实际化、具体化，并赋予它物理属性。
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凯特勒的平均怪兽
安全的咖啡杯演示了高斯变量的随机性是可以通过平均来消除的。如果我的咖啡杯是一个大粒子，或者能够表现为一个大粒子，那么它的跳跃就是一个问题。但我的杯子是由数万亿非常小的粒子组成的整体。
这种叫作高斯钟形曲线的怪兽并不是高斯的杰作，虽然他对此做了研究，但他是进行理论研究的数学家，而没有像那些统计科学家一样对现实的构造发表言论。G.H.哈迪（G.H.Hardy）在《数学家的歉意》一文中写道：
但从物理上讲，我的咖啡杯是可能跳跃的，这是非常低的可能性，但仍是可能的。粒子一直在跳跃。但为什么由跳跃的粒子组成的咖啡杯本身不跳呢？原因很简单，要让杯子跳起来，所有粒子必须向同一个方向跳跃，并且连续这样同步跳几次（同时导致桌子向相反方向移动）。我的咖啡杯的数万亿粒子不可能同时向一个方向跳；在宇宙的整个历史中这种情况也不会发生一次。所以我可以安全地把咖啡杯放在写字台的边缘，去操心更严重的不确定性来源。
其结果就是，对高斯变量平均值的偏离，或者说“误差”，不会造成麻烦。它们很小，可以忽略。它们只会在平均值附近引起温和的波动。
同样的具体性假象也会影响所谓的“标准”差。选取任何价格或价值的历史序列，将之分割为子序列，计算“标准”差。奇怪吗？每个子序列会有一个不同的“标准”差。那为什么人们还要谈标准差呢？想想吧。
上面的例子就是平均斯坦最高法则的应用：当你有大量赌徒时，单个赌徒对总体只可能造成微小的影响。
请注意，正如叙述谬误一样，当你拿过去数据计算出单一的相关性或标准差时，你忽略了它们的不稳定性。
赌场经营者非常明白这一点，这就是他们从不亏本的原因（如果经营得当的话）。他们不让赌徒下大注，而喜欢让许多赌徒下很多受限制的小注。赌徒的总赌注可能有2000万美元，但你不需要为赌场担心：每注平均可能只有20美元；赌场对最大赌注设了上限，赌场老板因此晚上可以安心睡觉。所以赌场收入的变化会小到可笑的地步，不管总赌注有多大。你永远不会看到谁带着10亿美元离开赌场，在宇宙的整个历史中都看不到。